Az $ ABC $ egyenlő szárú háromszög $ AB $ alapján vegyünk fel egy $ P $ pontot. $ P $-ből merőlegeseket állítunk a két szár egyenesére, ezek talppontjai $ I $, illetve $ J $. A háromszög magasságpontját jelölje $ M $ . Mutassuk meg, hogy a $ PM $ egyenes áthalad az $ IJ $ szakasz felezőpontján.

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Legyenek $ 1 \le k \le n $ rögzített egészek. Mennyi az

$ x_1x_2\ldots x_k + x_2x_3\ldots x_{k+1} + \ldots + x_{n-k+1} x_{n-k+2} \ldots x_n $

kifejezés maximuma, ha $ x_1 ,\ldots , x_n $ nemnegatív számok és összegük 1?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Rögzítsünk a síkon egy AB szakaszt és annak egy P belső pontját. Ha ABC tetszőleges háromszög, húzzunk P -ből párhuzamost az AC, illetve BC oldalakkal. Ezek az egyenesek a BC oldalt a Q pontban, az AC oldalt az R pontban metszik. Az AP R és BP Q háromszögek köré írt körök P -től különböző metszéspontja legyen H. Mi a H pontok halmaza, ha a C pont a sík minden, az AB egyenesre nem illeszkedő pontján végigfut?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Hány olyan, nem 0-ra végződő többszöröse van a 2012-nek, amelyben a számjegyek összege 5?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba

Van 2012 külsőre teljesen egyforma, de páronként különböző értékű érménk. Ugyancsak van egy készülékünk, amelybe 21 érmét kell behelyezni, és megadja, hogy a 21 behelyezett érme közül melyik a k-adik legértékesebb. Ennek a készüléknek a segítségével a 2012 érme közül hánynak tudjuk meghatározni az érték szerinti sorszámát, ha

a) k = 10, illetve ha

b) k = 11?

Megtekintés helyben: 

   

Megtekintés új oldalon: 

        

Feladatlapba